推荐一种数学学习方法—学霸都在用的“波利亚四步解题法”

2019-08-08 1269 数学 波利亚

波利亚是大数学家,在成名之前,他曾是中学数学老师,学生当中有冯•诺依曼。波利亚在数论上有诸多成就,但随着时间流逝,最为人们记住的就是他写的一本书:《怎样解题:数学思维的新方法》,这本书看似是一本数学方面的书,其实对于我们解决任何问题都有借鉴意义。

波利亚的四步解题法

第一步,彻底理解问题。

问题既不能太难也不能太简单。你不要迎难而上,主动去找太难的问题,也不要随遇而安,专找自己会做的问题。为了确保真正理解问题,你最好把问题用自己的话换成各种各种形式反复重新表达。

无论怎么重新表达,别忘了要提出问题的主干:要求解的是什么?已知什么?要满足哪些条件?


第二步,形成解决思路。

这一步的关键是获得好思路。你过往解决问题的经验、已经掌握的知识,这些是思路的来源。你要问自己:有没有解决过与当前相关的问题?当时用的办法现在还能否适用?要不要做以及做哪些调整?

如果思路始终不肯降临,你就试试改变这个问题的各个组件;已知、未知、条件,逐一替换,直到找到与之相似而你又解决过的问题。


第三步,执行

获得思路需要掌握知识、良好习惯、专注、还有运气,执行它就相对简单,主要是耐心。要反复提醒自己:每一步都要检查。

检查有两种,一种是直觉,直觉是问你自己,这一步是不是一眼看去就是对的?一种是证明,证明是问你自己,能不能严格证明这步是对的?两种检查方式都有用,不过是两回事。


第四步,总结

决不能解决完问题就了事,那就浪费了巩固知识和提升技巧的机会。你再检查一遍论证过程,尝试用另外的方法解题,寻找更明快简捷的方法,还要问,这次的解法能否用来解决其他问题?

总结是最好的启发时刻。


解决问题的问题清单

与四步解题法相对应的,有个完整的提问清单。即使你面对的不是数学题而是人生种种难题,四步解题法及问题清单也极有价值。它适用于无数其他情境,帮助每个人寻找各自问题的解决之道,不论它是什么问题。

1、在理解问题阶段的问题清单是:

求解什么未知数?
已知什么?
条件是什么?
条件充不充分?
但凡能画图,一定要画,把条件分解成各个部分,把问题用自己的话重新讲,反复讲。

2、在构思解题思路阶段的问题清单是:

以前有没有见过相似或相关问题?
以前用过的方法这次能否适用?
不相似的地方是否需要引入辅助假设?
条件有没有用足?
能不能构造比现在更简单一点点的问题,先解决简单的?
如果微调已知数、条件,甚至改变求解的未知数,能否找到解题线索?

3、在执行解题思路阶段的问题清单是:

每一步都检查过了吗?
能看出来这一步是对的吗?
能证明这一步是对的吗?

4、在回顾总结阶段的问题清单是:

结果检查了吗?
论证过程检查了吗?
能否用另外的方法推出结果?
能否将方法用于解决其他题目?

波利亚认为,这些问题清单:


  1. 1) 必须要系统、自然、明显、符合常识,防止打断形成思路的进程;

  2. 2) 必须要反复问,把它内化成肌肉反应;

  3. 3) 必须要有一般性,不仅适用于眼下的问题,还能适用于所有情境;

  4. 4) 必须要从一般性问题逐渐引到具体问题,激活思路,再回到一般性问题上来,如此反复迭代。

这样才能为练习者指出思考的方向,同时又留下了足够的努力空间。

波利亚的四步解题法及提问清单应用了启发式学习法。启发式学习起源于古希腊科学家阿基米德那句著名的eureka,意思是“找到了”,传承至今。它不保证完美结果,看重实用性,是发现、解决问题并从中学习的经典方法。

启发式学习,简单但不容易,本身不是秘诀,一看就懂,照方抓药绝对管用,却必须艰苦修炼才能有所成。


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